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亚里士多德车轮悖论的正确解释是什么?

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发表于 2020-9-1 15:25:54 | 显示全部楼层 |阅读模式
亚里士多德轮子悖论:似乎表示不同大小的圆周长相等,你发现问题在哪了吗? [图片]
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丨丶英勇青铜侠客

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发表于 2020-9-1 15:26:04 | 显示全部楼层
1 亚里士多德的车轮悖论
如下的木头轮子,可以将它抽象为两个同心圆,大的表示车轮,小的表示车轴:
亚里士多德车轮悖论的正确解释是什么?相关的图片假设大圆的半径为亚里士多德车轮悖论的正确解释是什么?相关的图片 ,小圆的半径为亚里士多德车轮悖论的正确解释是什么?相关的图片 。那么车轮在水平线上(无滑动地)滚动一圈的话,两个圆的底部都会平移相同的距离,即大圆的周长亚里士多德车轮悖论的正确解释是什么?相关的图片
亚里士多德车轮悖论的正确解释是什么?相关的图片想象大圆、小圆上分别涂上了不同颜色的油漆,车轮滚动一圈后,大圆、小圆所接触的水平线都会被涂满油漆,并且这两段水平线的长度都为亚里士多德车轮悖论的正确解释是什么?相关的图片
亚里士多德车轮悖论的正确解释是什么?相关的图片也就是说,半径不同的两个圆,同步旋转一圈后,辗过的水平长度都是亚里士多德车轮悖论的正确解释是什么?相关的图片 ,就常识而言,这个结论非常奇怪。这就是古希腊数学家亚里士多德在《论机械》中提出的车轮悖论:
亚里士多德车轮悖论的正确解释是什么?相关的图片2 伽利略的思考
1638年出版的《论两种新科学及其数学演化》中,伽利略在其中提到了如何解释亚里士多德的车轮悖论:
亚里士多德车轮悖论的正确解释是什么?相关的图片上面的图像可能有一点抽象,下面用更容易理解点的方式来解释下伽利略的思考。我们知道,可用正亚里士多德车轮悖论的正确解释是什么?相关的图片 边形去近似圆,亚里士多德车轮悖论的正确解释是什么?相关的图片 越大,越接近于圆:
亚里士多德车轮悖论的正确解释是什么?相关的图片因为多边形和圆的这种关系,所以先来考虑下正六边形的轮子旋转,虽然这种轮子在水平路面上肯定不舒服。想象这样的轮子,大六边形和小六边形都涂上了不同颜色的油漆,车轮滚动一圈后,大六边形底边所在水平线涂满了油漆,而小六边形所在底边水平线并没有涂满:
亚里士多德车轮悖论的正确解释是什么?相关的图片正十四边形更像圆了,同样的,大十四边形底边所在水平线涂满了油漆,而小十四边形底边所在水平线并没有涂满:
亚里士多德车轮悖论的正确解释是什么?相关的图片亚里士多德车轮悖论的正确解释是什么?相关的图片 时,正多边形就是圆了。所以伽利略根据上面的分析,类推得到,大圆底边所在水平线应该涂满了油漆;而小圆底边所在水平线并没有涂满油漆:该水平线上,无穷多个点被涂上了油漆,但是点之间有长度非常非常小的间隔,或者称为长度为无穷小的间隔,是没有涂上油漆的。所以可用虚线来表示小圆经过的水平线:
亚里士多德车轮悖论的正确解释是什么?相关的图片也就是说小圆实际上没有辗过水平上的每一个点,只是辗过了其中的一部分点。这样,伽利略就回答了亚里士多德的车轮悖论。
3 直线是由点构成的吗?
1621年,意大利数学家卡瓦列里:
亚里士多德车轮悖论的正确解释是什么?相关的图片向伽利略请教了这么一个问题,可以不可以认为线段是由无穷多个、长度为无穷小的点构成的(这个问题如果成立的话,意味着可以通过将点累加起来得到线段的长度,也就是微积分的萌芽。但是承认点有长度也是非常古怪的):
亚里士多德车轮悖论的正确解释是什么?相关的图片伽利略也一直在思考类似的问题,他在反复思考之后,最终从亚里士多德的车轮悖论中得到灵感,说线段是由无穷多个点构成的,而这些点之间夹杂着无穷多个长度为无穷小的空白。按照伽利略的这个设想,既可以保证线段是由点构成的,又可以保证这些点是没有长度的,还可以保证线段本身是有长度的。
当然不论是卡瓦列里,还是伽利略的假说,都是蕴涵矛盾的。当时人们认为无穷小是非常非常非常小的实数(这个认识是错误的,在现代的数学定义中,无穷小是函数,或者是数组,具体的解释可以查看这里),那么无穷多个长度为无穷小的点加起来(卡列瓦里的线段假设),或者无穷多个长度为无穷小的空白加起来(伽利略的线段假设),其长度一定是无穷大。但线段的长度很显然不是无穷大。
4 滚动与滑动
由于伽利略对无穷小的错误认识,所以他对亚里士多德的车轮悖论解释是错误的,下面用物理学的观点来解释一下。如果大圆和小圆都是独立滚动的,那么都滚动一圈的话,确实大圆应该水平移动亚里士多德车轮悖论的正确解释是什么?相关的图片 ,而小圆应该水平移动亚里士多德车轮悖论的正确解释是什么?相关的图片
但在悖论中,真正独立滚动的是大圆,小圆是完全被动运动的。所以,悖论中提到小圆的半径为亚里士多德车轮悖论的正确解释是什么?相关的图片 完全是一种误导,让你觉得小圆也在独立滚动。而实际上,小圆是在进行“滚动+滑动”的叠加运动,小圆在水平线上滚动一段距离、滑动一段距离,最终完成了亚里士多德车轮悖论的正确解释是什么?相关的图片 的平移。
“滚动+滑动”的叠加运动,我们没有办法做出图像,应该有点像刚才伽利略的推理,涂上蓝色油漆的部分对应着滚动,没有涂色的地方对应着滑动:
亚里士多德车轮悖论的正确解释是什么?相关的图片5 一一对应
抛开物理观点,还可以从数学角度来品味下这个悖论。在小圆上有无穷多个点,在水平线上也有无穷多个点。根据集合论的观点,两个无穷是一样多的,因此小圆上的点和水平线上的点是一一对应的(为了避免图像太乱,下面选了几个点作为示意):
亚里士多德车轮悖论的正确解释是什么?相关的图片小圆上的点和水平线上的点重合,这就是“辗过”的数学定义。那么根据上面的一一对应关系,小圆转动时,小圆上的每个点都可以找到水平线上一个对应的点与之重合,也就是说,小圆可以辗过水平线上所有的点。也就是说,只观察点的话,小圆确实辗过了整个水平线。
上面的推断过程涉及到无穷大的比较,有困惑的同学可以搜索“希尔伯特旅馆悖论”进一步的了解。
6 平移
关于亚里士多德的车轮悖论,还有这么一种解释:轮子滚动一圈之后,平移了亚里士多德车轮悖论的正确解释是什么?相关的图片 。作为一个整体,轮子上的每一点都肯定平移了亚里士多德车轮悖论的正确解释是什么?相关的图片
也就是说,大家不要去考虑什么小圆,不要跟着悖论的思路走,就不会陷入思维陷阱。
7 小结
虽然伽利略、卡瓦列里关于无穷小的思考是错误的,但他们的尝试、彼此之间的争论是数学发展的推动力。在一代代数学家的努力下,最终微积分才有了严格的定义,成为了现代科学的基石。
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发表于 2020-9-1 15:26:31 | 显示全部楼层
这个问题相当离谱,离谱就离谱在:
亚里士多德都能想出用n维多边形去趋近圆这个方式来解决问题,却没思考过让内轮趋向于圆心这个情况——
圆心那个点没有周长,完全是被拖着走的
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发表于 2020-9-1 15:27:01 | 显示全部楼层
小圆的运动除了滚动还滑动。
https://b23.tv/av73411207
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发表于 2020-9-1 15:27:46 | 显示全部楼层
正确解释就是一个轮子根本不需要转动,就算是卡死被推着往前走也能碾过任意长的距离。
所以事实就是轮子走过的距离跟转了多少圈并没有必然的联系,只跟轮子的中心相对于地面的位移有关系。
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